そもそも円周率って何でしょうか?

「円周の長さ」が「その円の直径」と”比例関係”にあり

その比例定数が円周率となっています。

中1で勉強する、比例の一般式

y=ax

yが円周の長さ(ℓと表します)

aが円周率(πと表します)

xが直径(半径”r”の2倍なので、直径という表現より2rと表現することが多いです)

となり

ℓ=π×2r

を計算して(数字を文字より前に置く文字式のルールに従って)

ℓ=2πrとなります。

 

円周率の数字をどういう風に計算することが出来るか?

ℓ=2πr

なので等式変形をすれば

π=ℓ/2r (←2r分のℓと読んでください)

円周の長さを直径で割ればよいということです。

しかしそれでは証明は難しそうですし

今回は、円周率である3.14・・・・・・をズバリ出さなくてもよくて

3よりは大きいことを示せばよいので

上記のように円に内接する正六角形を想定します

正六角形は上記のように6個の正三角形で出来ています

正三角形の1辺を0.5とします(円の直径は1になります)

そうすると

 

円周は"π"となります

※直径×πなので

1×π=π

 

正六角形の周りの長さは3となります

※正三角形1辺×6なので

0.5×6=3

 

円に内接している正六角形なので

正六角形の周りの長さ<円周の長さ

より

3<π

となり

円周率は3より大きくなります。

この応用で

円に外接する正六角形で考えると

円周率は3.46よりは小さいことを証明したりできます

(※√3=1.73とした場合)

さらに内接や外接する円を

正六角形よりも辺の数の多い多角形にすることで

どんどん3.14に近づいていきます

 

埼玉県入試では「二次方程式の解の公式の証明」や「角の二等分線定理の証明」が出題されたことがあります

埼玉県の入試問題では

公式や定理を利用する問題だけでなく

それが正しいことを証明する問題が出題されることがあります

教科書に出ている公式への理解は、深めておきましょう

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